10 хитромудрих математичних завдань, над вирішенням яких б'ються досі (11 фото)

Протягом століть найкращі уми людства вирішували одну математичну задачу за іншою, проте є кілька, які досі не піддалися нікому. За знаходження алгоритму їх вирішення деякі фонди та компанії готові заплатити великі гроші.





Гіпотеза Коллатца



Гіпотеза Коллатца є одним із найскладніших невирішених математичних завдань

Інші назви: гіпотеза 3n+1, сиракузька проблема, числа-градини. Якщо взяти будь-яке натуральне число n і зробити з ним наступні перетворення, рано чи пізно завжди вийде одиниця. Парне n треба розділити надвоє, а непарне - помножити на 3 і додати одиницю. Для числа 3 послідовність буде такою: 3×3+1=10, 10:2=5, 5×3+1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2 =1. Очевидно, якщо продовжити перетворення з одиниці, то почнеться цикл 1,4,2. Досить швидко кількість кроків у обчисленнях починає перевищувати сто і рішення кожної нової послідовності потрібно дедалі більше ресурсів.

Невеликий прогрес у вирішенні цього завдання майже вікової давності намітився буквально минулого місяця. Однак знаменитий американський математик Терренс Тао лише ближче за всіх підійшов до нього, але відповіді все одно поки не знайшов. Гіпотеза Коллатца є фундаментом такої математичної дисципліни, як «Динамічні системи», яка, у свою чергу, важлива для багатьох інших прикладних наук, наприклад, хімії та біології. Сиракузька проблема виглядає як просте невинне питання, але саме це робить її особливою. Незважаючи на всі спроби, ця проблема досі залишається найвідомішим невирішеним математичним завданням.

Проблема Гольдбаху (бінарна)





Цей малюнок ілюструє невирішену математичну проблему Гольдбаха, над якою вчені досі ламають голови.

Ще одне завдання, формулювання якої виглядає простіше пареної ріпи - будь-яке парне число (більше 2) можна подати у вигляді суми двох простих. І це наріжний камінь сучасної математики. Дане твердження легко перевіряється в розумі для невеликих значень: 18 = 13 +5, 42 = 23 +19. Причому розглядаючи останнє, можна досить швидко зрозуміти всю глибину проблеми, адже 42 представляється і як 37+5 та 11+31, а ще як 13+29 та 19+23. Для чисел більше тисячі кількість пар доданків стає просто величезною. Це дуже важливо в криптографії, але навіть найпотужніші суперкомп'ютери не можуть перебирати всі значення до нескінченності, тому потрібен якийсь чіткий доказ для всіх натуральних чисел.

Проблема була сформульована Крістіаном Гольдбахом у його листуванні з іншим найбільшим світилом математики Леонардом Ейлером у 1742 році. Сам Крістіан порушував питання дещо простіше: «кожне непарне число, більше 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел». У 2013 перуанський математик Харальд Хельфготт знайшов остаточне рішення цього варіанту. Проте запропоноване Ейлером слідство цього твердження, яке й назвали «бінарною проблемою Гольдбаха», досі не піддається нікому. Це одне з найдавніших невирішених математичних завдань людства.

Гіпотеза про числа-близнюки



Довести гіпотезу про числа близнюків математики поки що не змогли, тому її відносять до невирішених математичних завдань

Близнюками називаються такі прості числа, які відрізняються всього на 2. Наприклад, 11 і 13, а також 5 і 3 або 599 і 601. Якщо нескінченність ряду простих чисел була доведена безліч разів, починаючи з античності, то нескінченність чисел-близнюків перебуває під питанням. Починаючи з 2, серед простих чисел немає парних, а починаючи з 3 діляться на три. Відповідно, якщо відняти з ряду всі, що підходять під "правила поділу", то кількість можливих близнюків стає дедалі меншою. Єдиний модуль формули знаходження таких чисел — 6, а формула виглядає так: 6n±1.

Як завжди в математиці, якщо проблема не вирішується «в лоб», до неї підходять з іншого кінця. Наприклад, у 2013 році було доведено, що кількість простих чисел, що відрізняються на 70 мільйонів, нескінченна. Тоді ж, з різницею менше ніж на місяць, значення різниці було покращено до 59 470 640, а потім і зовсім на порядок — до 4 982 086. є лише різниця в 246. Як і інші проблеми такого роду, гіпотеза про числа-близнюки особливо важлива для криптографії. Однак, досі вона залишається невирішеною математичною проблемою, над якою б'ються найкращі уми.

Гіпотеза Рімана



Гіпотеза Рімана - найвідоміше і неприступне невирішене математичне завдання. За її рішення покладено велику нагороду

Якщо коротко, то Бернхард Ріман припустив, що розподіл простих чисел за множиною всіх натуральних чисел не підпорядковується будь-яким законам. Але їх кількість на заданій ділянці числового ряду корелює із розподілом певних значень на графіку дзета-функції. Вона розташована вище і для кожного s дає нескінченну кількість доданків. Наприклад, коли як s підставляється 2, то в результаті виходить вже вирішена "базельська задача" - низка зворотних квадратів (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...).

Одна з «проблем тисячоліття», за вирішення якої призначено приз у мільйон доларів, а також входження до пантеону «богів» сучасної математики. Насправді доказ цієї гіпотези настільки сильно штовхне вперед теорію чисел, що ця подія по праву називатиметься історичною. Багато обчислень і тверджень у математиці будуються на припущенні про те, що «гіпотеза Рімана» вірна, і досі нікого не підводили. Німецький математик сформулював знамените завдання 160 років тому, і з того часу до його вирішення підступали незліченну кількість разів, проте досі вона залишається, мабуть, найнеприступнішим невирішеним завданням сучасної математики.

Гіпотеза Берча та Суіннертон-Дайєра



Ще одне "завдання тисячоліття", за рішення якого Інститут Клея обдарує мільйоном доларів. Не-математику досить важко хоча б загалом сформулювати і зрозуміти, у чому суть гіпотези. Берч та Свіннертон-Дайєр припустили певні властивості еліптичних кривих. Ідея полягала в тому, що ранг кривої можна визначити, знаючи порядок нуля дзета-функції. Як то кажуть, нічого не зрозуміло, але дуже цікаво.

Еліптичними кривими називаються такі лінії на графіці, які описуються, на перший погляд, невинними рівняннями виду y²=x³+ax+b. Деякі їх властивості надзвичайно важливі для алгебри та теорії чисел, а розв'язання цього завдання може серйозно просунути науку вперед. Найбільший прогрес у знаходженні відповіді на це невирішене математичне завдання було досягнуто в 1977 році колективом математиків з Англії та США, які змогли знайти доказ гіпотези Берча та Суіннертон-Дайєра для одного з окремих випадків.

Проблема щільного пакування рівних сфер



Ця фотографія ілюструє невирішену математичну проблему щільного пакування сфер

Це навіть не одна, а ціла категорія подібних проблем. Причому ми стикаємося з ними щодня, наприклад, коли хочемо розкласти фрукти на полиці в холодильнику або якомога щільніше розставити пляшки на полиці. З математичної точки зору необхідно знайти середню кількість контактів ("поцілунків", також називається контактним числом) кожної сфери з рештою. На даний момент є точні рішення для розмірів 1-4 та 8.

Під розмірністю чи виміром розуміється кількість ліній, вздовж яких розміщуються кулі. У реальному житті більше третьої розмірності немає, проте математика оперує і гіпотетичними значеннями. Вирішення цього завдання може серйозно просунути не тільки теорію чисел і геометрію вперед, але також допоможе в хімії, інформатиці та фізиці. Мабуть, це одне з небагатьох невирішених математичних завдань, яке має чітке практичне застосування.

Проблема розв'язування



І знову щодня зустрічається проблема. Здавалося б, що складного вузол розв'язати? Тим не менш, обчислення мінімального часу, необхідного для цього завдання є ще одним наріжним каменем математики. Труднощі в тому, що ми знаємо, обчислити алгоритм розв'язування можна, але його складність може бути такою, що навіть найпотужніший суперкомп'ютер вважатиме надто довго.

Перші кроки на шляху вирішення цього завдання було зроблено у 2011 році американським математиком Грегом Купербергом. У його роботі розв'язування вузла зі 139 вершин було скорочено зі 108 години до 10 хвилин. Результат вражаючий, але це лише окремий випадок. На даний момент існує кілька десятків алгоритмів різного ступеня ефективності, проте жоден із них не є універсальним. Серед застосування цієї галузі математики — біологія, зокрема, процеси згортання білків.

Найбільший кардинал



Завдання найбільшого кардинала математики не можуть вирішити остаточно, попри всі старання

Яка нескінченність найбільша? На перший погляд маячний питання, але так і є всі нескінченності різні за розміром. А точніше, за потужністю, адже саме так розрізняють безліч чисел у математиці. Під потужністю розуміється загальна кількість елементів множини. Наприклад, найменша нескінченність — натуральні числа (1, 2, 3, ...), тому що вона включає лише цілі позитивні числа. Відповіді це питання поки немає і математики постійно знаходять дедалі потужніші множини.

Потужність множини характеризується його кардинальним числом або просто кардиналом. Існує ціла онлайн-енциклопедія нескінченностей та примітних «кінцевостей», названа на честь Георга Кантора. Цей німецький математик першим виявив, що незліченні множини можуть бути більшими або меншими один одного. Більше того, він зміг довести різницю у потужностях різних нескінченностей. Проблема тут полягає у доказі того, що існує кардинал (або, можливо, кардинали) з деякою заданою великою кардинальною властивістю. Досі це завдання залишається невирішеним.

Що не так із сумою числа π та e?



Чи є сума цих двох ірраціональних чисел числом алгебри? Ми оперуємо цими константами сотні років, але так і не дізналися про них усі. Алгебраїчне число – корінь багаточлена з цілими коефіцієнтами. На погляд здається, що це речові числа алгебраїчні, але ні, навпаки. Більшість чисел трансцендентні, тобто є алгебраїчними. Більш того, всі речові трансцедентні числа ірраціональні (наприклад, π і e), але їх сума може бути будь-який.

Якщо від попереднього абзацу у читача не захворіла голова, то продовження загадки — а що з πe, π/e і π-e? Також невідомо, а знати це, напевно, досить важливо для теорії чисел. Трансцедентність числа довів наприкінці ХІХ століття Фердинанд фон Ліндеман разом із неможливістю вирішення завдання квадратури кола. З того часу значних зрушень у вирішенні питання не було.

Чи є γ раціональною?



Раціональність постійної Ейлера-Маскероні довести поки що не вдалося, тому ця математична проблема залишається невирішеною

Ось ще одна проблема, яку дуже легко написати, але важко вирішити. Чи є постійна Ейлера-Маскероні ірраціональною чи ні? Раціональні числа можна записати як p/q, де p і q — цілі числа. Таким чином, 42 і -11/3 є раціональними, а √2 - ні. Формула вище дозволяє обчислити постійну, яка є межею різниці між частковою сумою гармонійного ряду та натуральним логарифмом числа. За визначення її раціональності мільйон доларів, звичайно, не світить, проте цілком можна розраховувати на крісло професора в Оксфорді.

Значення γ було обчислено до кількох тисяч знаків після коми, перші чотири з яких – 0,5772. Вона досить широко використовується в математиці, зокрема разом з іншим числом Ейлера - e. Відповідно до теорії ланцюгових дробів, якщо постійна Ейлера-Маскероні є раціональним дробом, то її знаменник повинен бути більше 10 в 242080 ступеня. Але поки що довести її раціональність не вдалося — для цього нам і нашим комп'ютерам потрібно більше часу. До цього часу раціональність постійної γ залишається невирішеною математичною проблемою.